Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On place et relie nos $n$ points sur un cercle comme demandé dans l'énoncé et on note $p_n$ le nombre de parties du disque ainsi formées.

Pour se donner une idée, on peut dessiner les cas $n=1,2,3,4,5$ pour commencer; on trouve alors $p_1=1$; $p_2=2$; $p_3=4$; $p_4=8$; $p_5=16$. On conjecture tout de suite : \[ p_n = 2^{n-1} \] Mais, malheureusement, ce n'est pas le cas ! Il est inutile d'essayer à chercher une preuve de cette conjecture car en faisant le dessin pour $n=6$ et en recomptant plusieurs fois, on se rend compte que $p_6=31$ et non $32$ !!!
Il nous faut donc essayer autre chose. Voici une manière de déterminer $p_n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :

On suppose nos $n$ points placés et reliés.
Considérons un ensemble maximal de segments qui ne s'intersectent pas à l'intérieur du disque (ils peuvent s'intersecter sur le cercle - et donc sur un des $n$ points). Par ensemble maximal, on entend que si on prend un segment en dehors de cet ensemble, il intersecte au moins un des segment de l'ensemble.
Appelons ce groupe de segments "segments parallèles". Le nombres de parties du disque séparées par ce groupe de segments est égal à :

$1+$ nombre de "segments parallèles"

Ensuite, considérons les autres segments i.e. les segments qui intersectent au moins un des segments parmi le groupe des "segments parallèles". Appelons les "segments sécants".
Chaque nouveau segment sécant tracé ajoute un nombre de parties égal à : $1+$ le nb d'intersections intérieures de ce segment avec les autres segments ("parallèles" ou "sécants").
Donc le nombre de parties données pas le groupe des "segments sécants" est égal à :

nombre de "segments sécants" + nombre total d'intersections intérieures.

Au final, on a :

nb de parties du disque = (1+nb de "segments parallèles")+(nb de "segments sécants" + nb d'intersections intérieures)

= 1+(nb de "segments parallèles"+nb de "segments sécants") + nb d'intersections intérieures

Or, en regroupant "parallèles" et "sécants", on obtient tous les segments ! Donc :

nb de "segments parallèles" + nb de "segments sécants"=nb total de segments = $\dbinom{n}{2}$

car un segment correspond exactement au choix de deux points sur le cercle parmi \(n\).

De plus, le nombre total d'intersections intérieur est égal à \(\dbinom{n}{4}\). En effet, un point d'intersection intérieur correspond exactement au choix de 4 points sur le cercle (faire un petit dessin pour s'en convaincre !).


On obtient ainsi le résultat :

$p_n$ = nb de parties du disque = $1+\dbinom{n}{2}+\dbinom{n}{4}$.

Pour tout $x \in \mathbb{N}$, on note $s(x)$ la somme de ses chiffres en base $10$. Comme, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $10^n$ est congru à $1$ modulo $9$, on a : \[ s(x) \;\equiv\; x \; \text{ mod }9. \] Ainsi, le nombre $s(s(s(4444^{4444})))$ recherché vérifie : \[ s(s(s(4444^{4444})))\;\equiv\;s(s(4444^{4444}))\;\equiv\;s(4444^{4444})\;\equiv\;4444^{4444}\;\text{ mod }9. \quad (*) \] Or $4444=9\times 493 + 7\;\equiv\;7\;\text{ mod }9$ et $7^{4444}\;\equiv\;(7^{3})^{1481}\times 7\;\equiv\;7\;\text{ mod }9$ car $7^3\;\equiv\; 1 \text{ mod }9$;
Par suite, \[ 4444^{4444}\;\equiv\;7^{4444}\;\equiv\;7\;\text{ mod }9. \]

Il en résulte, d'après $(*)$, que : \[ s(s(s(4444^{4444})))\;\equiv\;7\;\text{ mod }9. \] Maintenant, on sait que $s(s(s(4444^{4444})))$ est de la forme $7+9n$ où $n \in \mathbb{N}$ (on a bien que $n$ est un entier naturel car notre somme de somme de somme est positive). On va alors majorer $s(s(s(4444^{4444})))$ pour pouvoir majorer $n$ et avec un peu de chance, on aura même une seule valeur possible !
On a $4444^{4444}\leqslant 10000^{4444}=10^{17776}$ et ce dernier nombre possède $17777$ chiffres en base $10$. Le nombre d'au plus $17777$ chiffres de somme des chiffres maximale est $99...99$ (avec $17777$ chiffres $9$) donc : \[ s(4444^{4444})\leqslant s(99...99)=9\times 17777=159993. \] Ainsi, $s(4444^{4444})$ est un nombre d'au plus $6$ chiffres et plus petit que $159993$. On emploie le même raisonnement pour la seconde somme des chiffres. Le nombre d'au plus $6$ chiffres, plus petit que $159993$ de somme des chiffres maximale est $99999$. Ainsi : \[ s(s(4444^{4444}))\leqslant s(99999)=5\times 9=45. \] Par suite, $s(s(4444^{4444}))$ est un nombre d'au plus $2$ chiffres et plus petit que $45$. Le nombre d'au plus $2$ chiffres, plus petit que $45$ de somme des chiffres maximale est $39$. On a donc finalement : \[ s(s(s(4444^{4444})))\leqslant s(39)=12. \]
Or, le seul nombre de la forme $7+9n$ ($n\in \mathbb{N}$) plus petit que $12$ est $7$. Il en résulte que :

La somme de la somme de la somme des chiffres de $4444^{4444}$ est égale à $7$ !

On note $\ell=1\text{cm}$ la longueur ajoutée à la corde, $R=6371\text{km}$ le rayon du cercle représentant la Terre.
Soit $M$ le point où la main tire la corde, $C$ le centre de la Terre, et $T$ un des deux points où la corde se "soulève" de la surface de la Terre. On pose $h$ la distance de $M$ au cercle de centre $C$ et de rayon $R$ (la Terre donc !)
Comme la droite est $(MT)$ est la tangente au cercle au point $T$, le triangle $MCT$ est rectangle en $T$. On pose $L$ la longueur $MT$ et on a $CT=R$, $CM=R+h$. Ainsi, on obtient, en posant $\theta=\widehat{MCT}$, \[ \cos(\theta)=\dfrac{R}{R+h}\;(1)\text{ et }\tan(\theta)=\dfrac{L}{R} \; (2). \] De plus, la longueur $c$ totale de la corde s'exprime de deux façons :

• en utilisant l'énoncé, cette longueur est égale au périmètre du cercle "Terre" plus $\ell$, d'où $c=2\pi R + \ell$;
  
• en utilisant le fait que la longueur d'un arc de cercle de rayon $r$ déterminé par un angle $\alpha$ est égale à $\alpha R$, on obtient, $c=(2\pi-2\theta)R+2L$.

Ainsi

$2\pi R + \ell=(2\pi-2\theta)R+2L$ donc $L=\theta R +\dfrac{\ell}{2}$.

En substituant $L$ dans $(2)$, on obtient $\theta$ la relation suivante entre $\theta$, $R$ et $\ell$ : \[ \tan(\theta)-\theta = \dfrac{\ell}{2R}. \] La fonction $f:[0,\pi/2[\rightarrow \mathbb{R}$ telle que $f:x \mapsto \tan(x)-x$ est continue, strictement croissante et donc bijective de $[0,\pi/2[$ sur son image de réciproque continue (bon exercice au passage). On est donc tenté de déterminer $f^{-1}$ puis de calculer $\theta=f^{-1}(\frac{\ell}{2R})$. Malheureusement, $f^{-1}$ ne s'exprime pas avec des fonctions usuelles, ce qui complique l'application numérique ! Deux choix s'offrent à nous pour déterminer une approximation de $\theta$ :

• Un développement limité de $f$ en $0$ : la quantité $\dfrac{\ell}{2R}$ étant petite, $f^{-1}$ étant continue en $0$ et de valeur $0$ en ce point, on peut supposer que $\theta$ est proche de $0$. Ainsi, on a, en utilisant un DL de tangente en $0$ à l'ordre $3$ : \[ \tan(\theta)-\theta \simeq \dfrac{\theta^3}{3}. \] Ainsi, on obtient l'approximation : \[ \theta \simeq \sqrt[3]{\dfrac{3\ell}{2R}} \simeq 0.0013303356. \]
• On peut également, pour être plus précis, utiliser une méthode numérique (par dichotomie par exemple) pour résoudre l'équation $\tan(x)-x=\dfrac{\ell}{2R}$. On obtient, à $10^{-11}$ près, \[ \theta \simeq 0.0013303353. \] Ainsi, on peut voir que notre approximation précédente était plutôt légitime.

On peut alors déterminer la hauteur $h$ grâce à l'équation $(1)$ qui nous donne : \[ h=R\left(\dfrac{1}{\cos(\theta)}-1\right)\simeq 5,64 m. \] Et donc conclusion : ça passe !.


Et maintenant, quelle est la longeur minimale qu'il faut rajouter à la corde pour que la tour Eiffel passe également ??