Soit $E$ un espace euclidien muni d'un produit scalaire $(\cdot|\cdot)$ et $f : E \rightarrow E$ une application différentiable sur $E$. On pose, pour $x \in E$ : \[ \varphi(x)=(f(x)|f(x)). \] Montrer que $\varphi$ est différentiable sur $E$ et déterminer sa différentielle en tout point de $E$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $, muni d'une norme sous-multiplicative $\|\cdot\| $, i.e. $\forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$, $\| AB\| \leqslant \| A \|. \| B \|$.

1. Soit $H \in E$ tel que $\| H \| < 1 $. Montrer que $I_n - H$ est inversible, d'inverse $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} H^n$.
2. Montrer que $GL_n(\mathbb{R})$ est ouvert dans $E$.
3. Soit $\begin{array}{ccccc} f & : & \ GL_n(\mathbb{R})& \rightarrow & \ GL_n(\mathbb{R}) \\ & & M & \mapsto & M^{-1} \end{array}$.
   1. Montrer que $f$ est différentiable en $I_n$ et que $df(I_n) = -\text{Id}_E$.
   2. Montrer que $f$ est différentiable en tout point de $E$.