Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$, $\mathcal{B}'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ la famille de vecteurs de $\mathbb{R}_3$ définie par :\[ \varepsilon_1=e_1+e_2-e_3; \quad \varepsilon_2=e_1-e_3; \quad \varepsilon_3=e_1-e_2 \]On note $A=\begin{pmatrix} 2&-1&0 \\ -2&1&-2 \\ 1&1&3 \end{pmatrix}$ et on considère $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ canoniquement associé à $A$.

1. Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^3$ et déterminer la matrice $P$ de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ puis la matrice $Q$ de passage de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$.
2. Déterminer $\text{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$.
3. Calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Soit $n\in \mathbb{N}^*$, $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^n=\mathbf{0}$ et $f^{n-1}\neq\mathbf{0}$.
Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que :\[ \text{Mat}_{\mathcal{B}}(f)=\begin{pmatrix} 0 &1 & &0 \\ \vdots&\ddots&\ddots& \\ \vdots& &\ddots&1 \\ 0 &\dots &\dots &0 \end{pmatrix} \]

Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}_4[X] \rightarrow \mathbb{R}_4[X]$ telle que, pour $P \in \mathbb{R}_4[X]$ :\[ f(P)=P(X+2). \]

Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4$ telle que, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ :\[ f(x,y,z)=(x+y,y-4z,z-x,x-2y-z). \]

Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ telle que, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ :\[ f(x,y,z)=(2x+y,y-x+3z) \]

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de rang $1$.

1. Montrer que $f^2=\text{Tr}(f).f$.
2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit un projecteur.