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Exercices de la catégorie Groupes et sous-groupes
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Groupes et sous-groupes : liste des exercices
Exercice #133
Exercice de base
Détails de l'exercice #133
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que $G=\{z \in \mathbb{C} \; | \; \exists\; n \in \mathbb{N}^*, z^n=1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*,\times)$. Quel est son cardinal ? Justifier.
Exercice #129
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #129
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $I=]-1,1[$. On munit $I$ d'une loi $*$ définie, pour tous $x,y \in I$,par $x*y=\frac{x+y}{1+xy}$.
  1. Montrer que, pour tous $x,y \in I$, $x*y$ est bien défini. Puis montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $I$.
  2. Montrer que $(I,*)$ est un groupe commutatif. $[0,1[$ est-il un sous-groupe de $I$ ?
  3. Soit $x> 0$. Montrer que $H_x=\{\frac{x^n-1}{x^n+1} \; | \; n \in \mathbb{Z}\}$ est un sous-groupe de $I$.

Exercice #130
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #130
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $(G,.)$ un groupe tel que pour tout $g \in G$, $g^2=e$. Montrer que $G$ est un groupe commutatif.
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