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Exercice #2 Caractérisation des sous-groupes engendrés

Détails de l'exercice #2

Exercice enregistré par M. Arnt

Matière : Mathématiques

Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2, Bac+3 et plus.

Mots clés associés :
sous-groupe

Énoncé

Soit $G$ un groupe et $A \subset G$. On note \[ \langle A \rangle = \bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H \quad\text{ où }\mathcal{H}_A=\{H \text{ sous-groupe de }G\text{ contenant }A\}. \] et \[ E(A)=\left\lbrace a_1...a_n \; | \; n \in \mathbb{N}^*,\; a_1,...,a_n \in A\cup A^{-1}\cup\{e\}\right\rbrace. \]

Montrer que $\langle A \rangle$ est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$.
Remarque : $\langle A \rangle$ est appelé le sous-groupe engendré par $A$.
- Montrer que $A \subset E(A)$.
- Montrer que $E(A)$ est un sous-groupe de $G$.
- En déduire que $\langle A \rangle \subset E(A)$.
- Soit $x \in E(A)$. Montrer que pour tout sous-groupe $H$ de $G$ contenant $A$, $x \in H$.
- En déduire que $E(A)\subset \langle A \rangle$.
Conclure.

Indications

Utiliser la définition d'une intersection.
- $\langle A \rangle$ est le plus petit sous-groupe contenant $A$.

Correction

Montrons tout d'abord que $A$ est un sous-groupe de $G$. Comme pour tout $H\in \mathcal{H}_A$, $H$ est un sous-groupe de $G$, il contient l'élément neutre $e$. Donc $e \in \bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H=\langle A \rangle$.
Soit $x,y \in \langle A \rangle$. Montrons que $xy^{-1} \in \langle A \rangle$. Comme $x,y \in \bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H$, on a, pour tout $H \in \mathcal{H}_A$, $x,y \in H$ et $H$ est un sous-groupe de $G$. Donc pour tout $H \in \mathcal{H}_A$, $xy^{-1} \in H$. Ainsi, $xy^{-1} \in \bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H=\langle A \rangle$.
Par suite, $\langle A \rangle$ est un sous-groupe de $G$.

De plus, pour tout $H \in \mathcal{H}_A$, $A \subset H$ donc $A \subset \bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H=\langle A \rangle$.
Il en résulte que $\langle A \rangle$ est un sous-groupe contenant $A$, et c'est le plus petit d'entre eux (au sens de l'inclusion) car pour tout $K \in \mathcal{H}_A$, on a \[ \langle A \rangle =\bigcap_{H \in \mathcal{H}_A}H \subset K \]
- Pour tout $a \in A$, $a \in A\cup A^{-1}\cup \{e\}$, donc $a \in E(A)$. Ainsi $A \subset E(A)$.
- - On a $e \in \{e\}\subset A\cup A^{-1} \cup \{e\}$ donc pour $n=1$ et $a_1=e$, on a $e=a_1 \in E(A)$.
  - Soit $x,y \in E(A)$. Alors il existe $n,m \in \mathbb{N}^*$, $a_1,...,a_n,a'_1,...,a'_m \in A\cup A^{-1}\cup \{e\}$ tels que $x=a_1...a_n$ et $y=a'_1,...,a'_m$. Alors \[ \begin{array}{rl} xy^{-1}& =a_1...a_n(a'_1...a'_m)^{-1} \\ &= a_1...a_na^{\prime -1}_m...a^{\prime -1}_1 \\ &= a''_1...a''_{n+m} \end{array} \] où \[ a''_i=\begin{cases} a_i \in A\cup A^{-1} \cup \{e\}&\text{ si }i \in \;[\!\!\![\; 1,n\;]\!\!\!]\;; \\ a^{\prime -1}_{i-n} \in A\cup A^{-1} \cup \{e\}& \text{ si } i \in \;[\!\!\![\; n+1,n+m\;]\!\!\!]\;. \end{cases} \] Par suite $xy^{-1} \in E(A)$. Il en résulte que $E(A)$ est un sous-groupe de $G$.
- $\langle A \rangle$ est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$ et d'après les questions précédentes, $E(A)$ est un sous-groupe de $G$ contenant $A$ donc $\langle A \rangle \subset E(A)$.
- Soit $x \in E(A)$ et $H$ un sous-groupe de $G$ contenant $A$. Alors il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $x=a_1...a_n$ avec $a_1,...,a_n \in A\cup A^{-1} \cup \{e\} \subset H$ car $H$ contient $A$ et $H$ est un sous-groupe de $G$. Comme $H$ est stable par composition $x=a_1...a_n \in H$.
- $\langle A \rangle$ est par définition l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ contenant $A$ et chacun de ces sous-groupes contiennent $E(A)$ d'après la question précédente. Ainsi, $E(A)\subset \langle A \rangle$.
Il en résulte que $E(A)=\langle A \rangle$. Autrement dit, le sous-groupe engendré par $A$ porte bien son nom : il s'agit de l'ensemble des éléments de $G$ que l'on peut obtenir en composant autant de fois que l'on veut les éléments de $A$ et leurs symétriques.