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Exercices de la catégorie Suites numériques
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Suites numériques : liste des exercices
Exercice #415
Exercice de base
Détails de l'exercice #415
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}. \]
Exercice #416
Exercice de base
Détails de l'exercice #416
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n=\frac{\ln(1+n^3)}{2n+\sqrt{n}+1}. \]
Exercice #418
Exercice de base
Détails de l'exercice #418
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=n^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n. \]
Exercice #414
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #414
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n = \sum_{k=0}^n k!. \]Montrer que $u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!$.
Exercice #292
Exercice de base
Détails de l'exercice #292
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ telle que :\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0 \]Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.
Exercice #290
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #290
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
  1. Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, $H_{2n}-H_n \geqslant \frac{1}{2}$. En déduire que $H_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
  2. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. Montrer que si $n(u_{n+1}-u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, alors $u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Exercice #274
Exercice de base
Détails de l'exercice #274
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n=\frac{n!}{n^n} \]
Exercice #276
Exercice de base
Détails de l'exercice #276
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \text{ où }x \in \mathbb{R} \]
Exercice #277
Exercice de base
Détails de l'exercice #277
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\sqrt[n]{n} \]
Exercice #278
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #278
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que la suite $(\cos(n))_{n \in \mathbb{N}}$ diverge.
Exercice #306
Exercice de base
Détails de l'exercice #306
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=1& \\ u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases} \]
  1. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
  2. Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Exercice #287
Exercice de base
Détails de l'exercice #287
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=1,\; u_1=2& \\ u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}. \end{cases} \]
Exercice #288
Exercice de base
Détails de l'exercice #288
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=1,\; u_1=-1& \\ 2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}. \end{cases} \]
Exercice #284
Exercice de base
Détails de l'exercice #284
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=0 \\ u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}. \end{cases} \]
Exercice #280
Exercice de base
Détails de l'exercice #280
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.
Exercice #281
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #281
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[ u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!} \]
  1. Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes.
    On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$.
  2. Montrer par l'absurde que $e$ est irrationnel.
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