Soit $E$ un espace vectoriel et $A,B$ des parties convexes de $E$. On note :\[
C= \left\{\frac{1}{2}(a+b) \; | \; a \in A, \, b \in B\right\}.
\]Montrer que $C$ est une partie convexe de $E$.
Soit $E$ un espace vectoriel et $A,B$ des parties convexes de $E$. Les ensembles $A\cap B$ et $A \cup B$ sont-ils des parties convexes de $E$ ? Justifier.
Soit $E,F$ des espaces vectoriels et $A,B$ des parties convexes de $E$ et $F$ respectivement. Montrer que $A\times B$ est une partie convexe de $E\times F$.
Montrer que $\{(0,0)\} \cup (\mathbb{R}_+^*)^2$ est une partie convexe de $\mathbb{R}^2$.