Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer :\[ a) \prod_{z \in \mathbb{U}_n}z \quad \quad b) \sum_{z \in \mathbb{U}_n}|z-1|.\]

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ : \[ z^n=\overline{z}. \]

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité.

1. Soit $p \in \mathbb{N}$. Calculer $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n} z^p$.
   
2. En déduire la valeur de la somme $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n}(1+z)^n$.

Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :\[ z^2+5z+7=i\]

Soit $z \in \mathbb{C} \smallsetminus{1}$ tel que $|z|=1$.
Montrer que $\displaystyle \frac{z+1}{z-1}$ est un imaginaire pur.