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Exercices de la catégorie Nombres complexes
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Nombres complexes : liste des exercices
Exercice #95
Exercice de base
Détails de l'exercice #95
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ z^6=64i \]On donner les solutions sous forme exponentielle.
Exercice #33
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #33
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer :\[ a) \prod_{z \in \mathbb{U}_n}z \quad \quad b) \sum_{z \in \mathbb{U}_n}|z-1|. \]
Exercice #34
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #34
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ : \[ z^n=\overline{z}. \]
Exercice #30
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #30
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité.
  1. Soit $p \in \mathbb{N}$. Calculer $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n} z^p$.
  2. En déduire la valeur de la somme $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n}(1+z)^n$.

Exercice #91
Exercice de base
Détails de l'exercice #91
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ (3+i)z=2iz+2 \]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #92
Exercice de base
Détails de l'exercice #92
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ (1+3i)z+6=2iz+2 \]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #93
Exercice de base
Détails de l'exercice #93
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ 2iz+5=3\overline{z}+5i \]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #108
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #108
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :\[ (z^2+z+1)^2+1=0 \]
Exercice #32
Exercice de base
Détails de l'exercice #32
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :\[ z^2+5z+7=i \]
Exercice #109
Exercice de base
Détails de l'exercice #109
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Mots clés associés :
discriminant
Énoncé
Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ z^2+5iz-4 = 0. \]
Indications
Il s'agit d'une équation polynomiale du second degré, on applique la résolution classique utilisant le discriminant.
Correction
Le discriminant $\Delta$ de l'équation polynomiale du second degré vérifie :\[ \Delta = (5i)^2-4\times 1 \times (-4)= -9 \neq 0 \]et $\delta=3i$ est une racine de $\Delta$.
Par suite, l'équation possède deux solutions distinctes $z_{\pm}$ :\[ z_{\pm} = \frac{-5i\pm \delta}{2\times 1} \]et ainsi, $z_+=-i$ et $z_-=-4i$.
L'équation a donc pour solutions $-i$ et $-4i$.
Exercice #110
Exercice de base
Détails de l'exercice #110
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $A,B,C,D$ quatre points du plan complexe tels que $A\neq B$ et $C \neq D$. Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que $s(A)=C$ et $s(B)=D$.
Dans cet exercice, on identifie les points du plan complexe avec leurs affixes.
Indications
Faire l'analyse du problème.
Correction
Analysons le problème :
si $s$ est une similitude directe vérifiant les propriétés demandées, alors il existe $a,b \in \mathbb{C}$ avec $a\neq 0$ tels que $s:z \mapsto az+b$ et $aA+b=s(A)=C$; $aB+b=s(B)=D$.
Alors, en faisant la différence et la somme de ces égalités, on obtient :\[ \begin{cases} a(A-B)=C-D \\ a(A+B)+2b=C+D & \end{cases} \]$A$ étant différent de $B$, on obtient :\[ \begin{cases} a=\frac{C-D}{A-B} \\ b=\frac{1}{2}\left(C+D-\frac{(C-D)(A+B)}{A-B}\right)=\frac{AD-BC}{A-B}. \end{cases} \]Passons à la synthèse.
Existence : On pose $a=\frac{C-D}{A-B} \in \mathbb{C}^*$ (non nul car $C \neq D$), $b=\frac{AD-BC}{A-B} \in \mathbb{C}$ et $s:z \mapsto az+b$. Alors $s$ est une similitude directe et on a :\[ s(A)=aA+b=\frac{C-D}{A-B}A+\frac{AD-BC}{A-B}=C \]et \[ s(B)=aB+b=\frac{C-D}{A-B}B+\frac{AD-BC}{A-B}=D \]d'où l'existence d'une similitude qui envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$.
Unicité : Soit deux telles similitudes $s:z\mapsto az+b$ et $s':z\mapsto a'z+b'$. Alors :\[ aA+b=s(A)=C=s'(A)=a'A+b' \]et \[ aB+b=s(B)=D=s'(B)=a'B+b' \]d'où, en faisant la différence de ces deux égalités, on obtient :\[ a=a' \text{ puis }b=b'. \]Donc $s=s'$.
(pour l'unicité, on aurait pu également pu réutiliser ce qui avait été fait dans l'analyse !)
Exercice #111
Exercice de base
Détails de l'exercice #111
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Caractériser géométriquement la similitude directe $s: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que, pour $z \in \mathbb{C}$ :\[ s(z)=(2+2i)z+1-3i. \]
Exercice #96
Exercice de base
Détails de l'exercice #96
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Exprimer $\sin(5\theta)$ en fonction de $\sin(\theta)$.
Exercice #38
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #38
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $z \in \mathbb{C} \smallsetminus\{1\}$ tel que $|z|=1$.
Montrer que $\displaystyle \frac{z+1}{z-1}$ est un imaginaire pur.
Exercice #94
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #94
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Énoncé
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Lorsque c'est possible, mettre sous forme exponentielle le nombre complexe $z=e^{i\theta}+e^{i2\theta}$.
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