Banque d'exercices ClassExo
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Réduction
Déterminant et trace d'une matrice
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $M \in M_n(\mathbb{R})$ telle que $M^3-M^2+M=I_n$. Déterminer le déterminant de $M$ et montrer que sa trace est un entier naturel inférieur ou égal à $n$.
Indications
1. Déterminer un polynôme annulateur de $M$ puis le factoriser dans $\mathbb{C}$.
2. Si une matrice est diagonalisable (ou trigonalisable), on a des formules reliant son déterminant et sa trace en fonction de ses valeurs propres.
2. Si une matrice est diagonalisable (ou trigonalisable), on a des formules reliant son déterminant et sa trace en fonction de ses valeurs propres.
Correction
On remarque que $P=X^3-X^2+X-1=(X-1)(X-i)(X+i)$ est un polynôme annulateur scindé à racines simples de $M$. Par suite, $M$ est diagonalisable dans $\mathbb{C}$ avec $\text{Sp}_{\mathbb{C}}(M)\subset \{1,i,-i\}$ et ainsi, on a :
\[
\text{det}(M)=1^{m(1)}\times i^{m(i)} \times (-i)^{m(-i)} \text{ et }\text{tr}(M)=m(1)+ m(i)i - m(-i)i
\]
où, si $\lambda$ n'est pas valeur propre de $M$, $m(\lambda)=0$ et si $\lambda$ est valeur propre de $M$, $m(\lambda)$ désigne sa multiplicité.
De plus, $M$ étant à coefficients dans $\mathbb{R}$, ses valeurs propres non réelles conjuguées (potentielles) $i$ et $-i$ ont la même multiplicité i.e. $m(i)=m(-i)$. Ainsi : \[ \text{det}(M)=(i\times (-i))^{m(i)}=1^{m(i)}=1 \text{ et }\text{tr}(M)=m(1)+ m(i)(i-i)=m(1) \in \;[\!\!\![\; 0,n \;]\!\!\!]\; \]
De plus, $M$ étant à coefficients dans $\mathbb{R}$, ses valeurs propres non réelles conjuguées (potentielles) $i$ et $-i$ ont la même multiplicité i.e. $m(i)=m(-i)$. Ainsi : \[ \text{det}(M)=(i\times (-i))^{m(i)}=1^{m(i)}=1 \text{ et }\text{tr}(M)=m(1)+ m(i)(i-i)=m(1) \in \;[\!\!\![\; 0,n \;]\!\!\!]\; \]
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